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1为什么不是质数-(1为什么不是质数也不是合数)

最近有抖音主播在科普视频上给大家解释了一个简单的问题,1为什么不是素数,视频中博主打了个埋伏,说很多人认为这就是规定的,就这么定的,就像自然数的定义一样,然后,话锋一转说,其实1不是质数的原因是为了保证在质数分解时得到分解形式的唯一性。

1为什么不是质数

质数分解是指任何一个合数都可以分解为若干个质数相乘,比如,4=2*2表示4可以分解为2个质数2相乘;6 = 2*3表示6可以分解为质数2和质数3相乘; 8 = 2*2*2表示8可以分解为3个质数2相乘。

而唯一分解定理告诉我们,对于一个给定的合数,比如8, 他分解形式是唯一的,也就是说,我们不能再找出另外一种形式来分解8,比如,8=a*b*c,a,b,c是其它的、不是2的质数,这种情况不可能存在的事情。8分解为质数相乘的形式,只有1中,就是2*2*2。

先不说这个唯一分解定理如何证明。如果1是质数,那么这个质数分解就不唯一了。

为什么,因为,如果1是质数,那么8就可以分解为2*2*2*1*1*1,也可以分解为2*2*2*1,这样,不同的形式都能满足分解的要求,唯一性就不能得到保证了。因此,为了让质数分解的形式保持唯一性,我们不能让1成为质数。

质数分解的唯一性

这个说法靠谱吗?我们说这样的解释也不能说不对,至少,如果1是质数了,质数分解形式也的确不唯一了。但是,1不是质数,不仅仅是因为要保持质数分解唯一性,我们还有其他的要求。而且,实际上,即便1是煮熟,我们还是可以保证质数分解形式的唯一性,。

比如,我们如果强行规定1为质数,质数分解唯一性定理只需要改变一点就可以保证了,也就是:

任何一个合数都可以分解为唯一一组不包括1的质数的相乘形式。

这样,质数分解唯一性依然没有问题,我们只需要把1排除在定理外就可以了,因为质数分解唯一性是一个定理,而非公理。

但与此同时,如果1是质数,很多与质数有关的定理也都需要把1排除在外,从而增加不必要的麻烦。因此,当代科学家普遍接受了把1排除在质数集合之外的决定,主要还是因为引入了1后,很多定理还是需要增加一些先决条件。

那么,1 到底为什么不是质数呢?是因为要保证质数分解唯一性吗?是不是还有其他的原因呢?我们需要从质数的定义再看一看,就可以知道为什么1不能是质数了。

我们都知道,质数的定义式:除了1和作自身外,不能被其他数整除的、大于1的自然数叫做质数。

根据这个定义,我们知道1就是自身,而1除以1得1,因此,1既可以被1整除,也可以被自身整除,除此之外再也没有其他的数能整除1了。

因此,如果不限定大于1这个条件,原则上1也是符合质数定义的。这就意味着,如果我们不限定大于1的话,似乎也是可以的,让1进入质数序列似乎也没有什么问题。比如,我们把质数分解的定理改一下,把1排除在因子之外就可以了,但其实还不能这么简单地处理。

我们发现,当我们对1进行质数分解时,我们却得到了无穷多种分解方法,1=1, 1=1*1;1=1*1*1*1*1;这样的形式可以有无数多种,这就带来的一个新的问题,1到底是合数还是质数?

如果1是质数,意味着存在一个质数可以分解为多个质数相乘的形式,而我们知道,质数的一个核心特点就是只能分解成自身和1的乘积的形式。如果有多个因子,那么就是合数了。

比如8,就有3个质数因子,8=1*1*1;而如果1也是质数,1 = 1*1*1,也可以分解为3个质数乘积的形式,那么合数8与质数1到底有什么性质上的区别,这就成了一个问题。

我们都知道合数是可以分解为多个质数相乘的形式,那么1似乎也符合了合数的特征,因此,如果我们让1进入质数的序列,那么合数的质数分解的性质就需要重新考虑和定义了,因为有一个质数1也可以分解为多个质数相乘的形式。

换句话说,当我们让1成为质数的时候,1同时也具有了合数的一些性质。这就是我们必须要把1排除在质数之外,这样1既不是质数,同时,也不是合数了。

黎曼猜想怎么办?

1如果成为质数,还会带来另外一个比较重要的问题,我们知道黎曼猜想中的Zeta函数等价为一组质数的倒数的乘积,如果1也是质数,那就存在了一个1/(1-1)的项,0作为分母,这让问题变得无法解决。因此,黎曼也不会希望1是质数。

总得来说,初看起来,1作为质数也不是不行,早期数学家很多认为1也是质数,只是到了近代,随着数论研究深入,才发现1如果是质数会引起很多深刻的数学问题和困扰,不仅仅是分解唯一性的问题,比如,1还不能是合数,也是因为类似的问题。

因此,最终,我们把1作为一个特殊的自然数保存了起来,它既不是质数,也不是合数。

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